Cálculo (IV): ¿Cómo reemplazar límites con infinitesimales? | por Hemanth | Ciencia de la calle | septiembre 2022

¡Prácticamente como cero, pero conceptualmente NO cero!

CMientras que el cálculo convencional usa el concepto de límites, una versión alternativa difiere para reemplazar los límites con infinitesimales. Y es tan efectivo. Algunos matemáticos incluso informan que esta versión alternativa resuelve ciertos problemas más rápido en comparación con la versión convencional.

En mi ensayo sobre la noción de límites, mencioné que cubriré el cálculo infinitesimal en un ensayo separado. Aqui estamos. Esta es también la cuarta entrada. en mi serie de cálculo.

Comenzaré brindándoles un breve viaje histórico hacia el cálculo infinitesimal. A continuación, continuaré abordando la diferencia intuitiva entre el cálculo usando infinitesimales y límites.

Finalmente, cubriré las ventajas y desventajas de usar esta versión alternativa en la práctica. Sin más preámbulos, comencemos.

Es fácil para cualquier practicante del cálculo moderno pensar que el cálculo siempre ha usado la noción de límites. Pero este ciertamente no fue el caso. De hecho, los inventores del cálculo nunca usaron límites; usaban infinitesimales.

Considere el concepto de fracciones. La mayoría de las fracciones con las que tratamos son fracciones finitas de números finitos. Sin embargo, existen fracciones infinitamente pequeñas tales que el número 1, por ejemplo, se puede dividir en infinitas partes.

Estos infinitesimales son fracciones infinitamente pequeñas que están infinitamente más cerca de cero, pero son NO cero. matemático suizo Juan Bernoulli tenía la siguiente explicación intuitiva de los infinitesimales:

“…si una cantidad aumenta o disminuye en un infinitesimal, entonces esa cantidad no aumenta ni disminuye”.

— Juan Bernoulli.

Newton, uno de los inventores del cálculo (siendo Leibniz el otro) llamó a las derivadas “fluxiones”. Filósofo y obispo británico del siglo XVIII george berkeley dijo lo siguiente sobre las fluxiones:

“¿Y qué son estas fluxiones? Lo evanescente aumenta las velocidades. ¿Y cuáles son estos mismos incrementos evanescentes? No son cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No podemos llamarlos fantasmas de cantidades que se han ido?

— Jorge Berkeley.

Y no fue sólo Berkeley. Durante doscientos años, la mayor parte de la comunidad matemática rechazó la noción de infinitesimales/fluxiones porque sonaba «incompleto» y no estaba matemáticamente bien definido.

Como la mayoría de los matemáticos y científicos establecidos se oponían al uso de los infinitesimales, quedaba una minoría de matemáticos/científicos de renombre que lo apoyaban. Edmond Halleyel astrónomo que dio nombre al famoso cometa fue un colega cercano de Newton y un gran partidario.

el matemático americano charles peirce también apoyó fuertemente la noción de infinitesimales. Tenía lo siguiente que decir al respecto.

“La doctrina de los infinitesimales es mucho más simple que la doctrina de los límites.”

“…Como matemático, prefiero el método de los infinitesimales al método de los límites, mucho más fácil y menos infestado de trampas.”

— charles peirce.

En 1960, abraham robinson de la Universidad de Yale conmocionó al mundo matemático al desarrollar un riguroso sistema de análisis que incluía infinitesimales y números infinitos (conocidos colectivamente como números hiperreales) consistentes con los axiomas matemáticos existentes. ¡Esto significaba que los infinitesimales estaban justificados de una vez por todas!

Esto se ha convertido en un campo propio y ahora se conoce como «análisis no estándar”. Puedes leer más sobre esto en este ensayo.

En matemáticas, análisis es un término que se refiere al cálculo y al cálculo avanzado. Si realmente elige usar infinitesimales en lugar de límites, mi recomendación sería un análisis no estándar.

Considere la siguiente función:

y = f(x) = sen(x)/x

Digamos que estamos tratando de responder a la siguiente pregunta:

¿Qué sucede cuando x tiende a cero?

Si simplemente ingresamos cero, esto lleva a 0/0, que no está definido. Si está interesado en aprender las complicaciones matemáticas detrás de esto, consulte mi ensayo sobre este tema.

Hay varias maneras en que podemos manejar esto. Por lo general, la serie de Taylor es una opción muy flexible. Sin embargo, en aras de la facilidad, voy a utilizar un enfoque más simple. Empecemos trazando sin(x) en el rango de x = -1 a x = +1:

Observa cómo la gráfica de y = x y y = f(x) = sin(x) se alinea a medida que el valor de x se acerca más y más a cero. Resulta que esta función trigonométrica alterna se puede aproximar a cero usando una línea recta simple:

Entonces podemos realmente ‘acercarnos’ a nuestra función original muy cerca de cero como sigue:

y = f(x) = sen(x)/x ~ x/x = 1

¿Qué hace Límite?

Lo que hemos hecho aquí es convertir un modelo complejo en un modelo más simple que solo proporciona lo suficientemente preciso resultados para nuestras necesidades. En cálculo, los límites logran esto al recrear dinámicamente un modelo más simple con una resolución que está justo más allá de nuestras tolerancias de error.

Mi objetivo aquí no es mostrarte cómo resolver este problema usando cálculo, sino solo darte una intuición por ahora. Tendremos mucho tiempo para ver el lado del cálculo de las cosas en ensayos posteriores.

Imagina que estás midiendo la longitud de una curva con una regla. Es suficiente si mides con una escala mínima de 1 centímetro. Esto se debe a que la resolución más alta que cualquiera puede medir en su mundo es de 1 centímetro.

Pero para esta tarea, el límite te equipa con una regla especial capaz de medir con una escala de 1 milímetro. Esta no será la medida matemáticamente perfecta de ninguna manera.

Pero aún así, nadie en su mundo de escalas de 1 centímetro podrá saber o detectar desviaciones. Dicho esto, el enfoque principal de este ensayo no está en los límites, sino en los infinitesimales. ¿Cómo les iría?

¿Qué hacen los infinitesimales?

Verás, tanto los límites como los infinitesimales atacan el mismo problema: la cuestión de las tolerancias de error alrededor de cero. “¿Por qué es esto importante?” te preguntas.

Pues imagina que medimos tu peso ahora y en un segundo. Si usamos su escala de ponderación normal, es probable que la diferencia sea cero.

Sin embargo, si usamos una escala hiperprecisa capaz de medir diferencias de hasta masas atómicas, es muy poco probable que sea cero. Esto se debe a que transpira continuamente, las células abandonan su cuerpo, las moléculas se adhieren y se desprenden de su piel, etc.

Entonces, ¿cuál es la diferencia real entre sus pesos entre dos segundos? Cero o no cero? Bueno, depende de la escala que uses y de tus requisitos.

El cero es prácticamente relativo., y el cálculo aprovecha esta relatividad para calcular problemas complejos en términos más simples. Acabamos de ver cómo los umbrales operan dinámicamente fuera de su rango de tolerancia de errores a una resolución más alta.

Los infinitesimales operan en una dimensión completamente diferente. Crean un modelo del problema y lo resuelven en el plano numérico hiperreal.

Ninguna aplicación de medición humana puede exigir una escala con mayor precisión que la que ofrece la dimensión hiperreal (por definición, prácticamente).

Una vez que el problema se resuelve en la dimensión hiperreal, la solución se transporta a la dimensión finita de tu problema y el mundo gira normalmente.

Antes de responder a esa pregunta, permítanme resumir rápidamente lo que tenemos hasta ahora:

1. Los límites resuelven problemas complejos de forma dinámica a una resolución más alta, fuera de nuestras tolerancias de error.

2. Los infinitesimales transportan el problema a la dimensión hiperreal, lo resuelven allí y luego transportan la solución de regreso a la dimensión original del problema.

Así que la elección entre los dos es bastante simple: depende de tu preferencia. ¿Prefieres hablar de valores que convergen en un límite o de cantidades infinitamente pequeñas pero no nulas?

Hablando en términos prácticos, debido a la difícil historia detrás de los infinitesimales, vienen con equipaje. Robinson justificó los infinitesimales en la década de 1960. Por esta razón, los textos de cálculo más renombrados ni siquiera incluyen infinitesimales.

Esto significa que las opciones de referencia en cálculo infinitesimal son muy limitadas. Ya que estamos en el tema de las referencias, leí que “Análisis no estándar» por Martín Davis y Rubén Hersh Es una buena referencia sobre el tema.

Cuando aprendí cálculo en la escuela, ni siquiera sabía que existía el cálculo infinitesimal. Ahora, me alegra saber que existe. Pero por razones prácticas, sigo ciñéndome a los límites.

Ya no vivimos en el siglo XX. Entonces, si realmente quieres experimentar con infinitesimales, nadie tratará de detenerte. A menudo escucho de los partidarios que los infinitesimales son más intuitivos que los límites.

Dicho esto, por las razones prácticas mencionadas anteriormente, Me adherirá a los límites en mis futuros ensayos de cálculo.

Referencia y crédito: Martín Gardner.